解线性方程组的一般方法

• 用来化简线性方程组的三种基本变换
• 阶梯形（行阶梯形）
• 行化简算法
  • 定义
  • 行化简算法

用来化简线性方程组的三种基本变换

• （倍加变换）把某一个方程换成它与另一方程的倍数的和
• （对换变换）交换两个方程的位置
• （倍乘变换）把某一方程的所有的项乘以一个非零常数

阶梯形（行阶梯形）

一个矩阵称为阶梯形 ，则它具有如下性质：

1. 每一非零行在每一零行之上;
2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的后面;
3. 某一先导元素所在列下方元素都是零;
   若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）
4. 每一非零行的先导元素是1;
5. 每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

行化简算法

定义

矩阵中主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素（非零行的第一个元素）的位置.主元列是A的含有主元位置的列.

行化简算法

1. 由最左的非零列开始，这是一个主元列，主元位置在该列顶端
2. 在主元列中选取一个非零元作为主元，若必要的话，对换两行使这个元素移到主元位置上
3. 用倍加行变换将主元下面的元素变成0
4. 暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述步骤直到没有非零行需要处理为止
5. 由最右面的主元开始，把每个主元上方的各元素变成0,若某个主元不是1,用倍乘变换将它变成1